本文是基于制造案例研究：化學-機械拋光(微電子學)，案例研究適用于電子產品，但您可以在其他行業的任何地方使用。文中用到的軟件是Minitab公司在2020年4月7日發布的全新產品——Minitab Workspace。

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案例背景

利用沉積/拋光/光刻工藝在集成電路上創建若干互連層。晶片均勻性是關鍵，厚度必須恒定。現在遇到的問題是：拋光后，均勻度不夠。由于晶圓片中心打磨不足，殘留的氮化物會造成產量損失(均勻性規范為10%)。

在半導體工業中，化學機械拋光(CMP)工藝用于生產盡可能平整的晶圓片，以保持較高的成品率。為了提高氮化物去除率，縮短循環時間，進行了實驗設計。研究了晶圓片制造過程中的六個因素。

A: 下壓力  B: 恢復力  C: 振蕩  D: PAD類型  E: 載具速度  F: 工作臺速度

通過Minitab中的DOE分析結果表明，在六個因素中，下壓力（A），載具速度（E）和工作臺速度（F）以及下壓力*載具速度交互作用（A * E）均具有顯著影響去除率。

去除率 = 253 + 3.49下壓力 – 4.98載具速度 + 1.58工作臺速度 + 0.033下壓力*載具速度

Minitab中的優化工具用于確定最佳設置，以最大程度地提高去除率（縮短循環時間）：需要保持較低的載具速度，而必須增加下壓力和工作臺速度。

但是，DOE中給出最佳解決方案還不夠，還需要考慮工藝窗口對制造環境變化的穩健性。故我們在DOE之后又考慮了基于蒙特卡羅模擬的靈敏度分析，以估計標準操作條件下的產量和Cpk值。(目標：去除率至少達到1100埃/分鐘。)

蒙特卡羅模擬

• 由歷史數據指定顯著因子的分布和參數，把方程輸入，并指定規格限要求。

注：方程您可以手動輸入，也可以直接導入Minitab中DOE分析的項目文件。

我們來看一下，50000次的模擬結果。

• Cpk只有0.7286，不良率高達1.49%，我們需要做進一步的“參數優化”。

指定的因子搜索范圍（Low值和High）可以基于歷史數據或工程經驗得到。

我們再來看一下“參數優化”后的仿真結果。

參數優化后，Cpk可以達到1.48，不良率下降為0%。

• 參數優化對平均值做了調整，調整前后的設置如下。

• 至此，如果對結果還不是很滿意，我們還可以做“敏感性分析”，通過改善標準差來降低不良率。

在當前數據中，我們可以看到敏感性分析對不良率幾乎沒有影響（一條水平線）。

總結

蒙特卡羅模擬是一種定量分析，它通過在輸入中包括可變性來說明系統的風險和不確定性。通過5個步驟：

1. 確定方程式（回歸或DOE確定）；
2. 定義每個輸入變量的分布；
3. 執行蒙特卡洛模擬；
4. 執行參數優化；
5. 執行敏感性分析。

蒙特卡羅模擬可以幫助我們回答以下問題：

1. 哪種分布最適合我的輸入數據？我期望輸出什么值？ 
2. 給定輸入參數的不確定性，我的過程或產品的能力如何？ 
3. 實現我的目標的最佳設置是什么？ 
4. 輸入的變化如何影響響應的變化？